BAB
I
PENDAHULUAN
A. LATAR
BELAKANG MASALAH
Dalam sistem
antrian terdapat tiga komponen utama yaitu:kedatanga populasi yang akan
dilayani, antrian, dan fasilitas pelayanan. Setiap komponen memiliki
karakteristik yang berbeda.
Desain tata
letak dalam sistem antrian bias dibedakan menjadi empat yaitu single channel
single server, single channel multi server, multi channel single server, dan
multi channel multi server.
Tujuan dari
sistem antrian adalah meminimalakan biaya total yang merupakan penjumlahan dari
biaya yang timbul karena menunggu dan biaya yang timbul karena menambah
fasilitas layanan.
Manusia sebagai
makhluk sosial, tidak akan terlepas dari peran serta orang lain dalam
kehidupan. Pada kondisi tertentu manusia pasti membutuhkan jasa orang lain
dalam memenuhi kebutuhan hidup, dan untuk mendapatkannya terkadang mengharuskan
untuk menunggu terlebih dulu. Hal tersebut sangat mungkin terjadi, karena
banyak orang yang membutuhkan jasa yang sama dalam waktu yang bersamaan pula.
Kondisi tersebut sering terlihat dalam kehidupan sehari-sehari, seperti orang
menunggu untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu pesanan di rumah makan,
mengantri di kasir sebuah swalayan, dan mobil yang menunggu giliran untuk
dicuci. Kenyataannya menunggu adalah bagian dari kehidupan sehari-hari, dan
yang dapat diharapkan adalah dapat mengurangi ketidaknyamanan tersebut. Sesuatu
yang sangat diharapkan adalah ketika dapat memperoleh jasa tanpa harus menunggu
terlalu lama. Individu – individu yang menunggu (komponen, produk, kertas
kerja, orang) bertujuan untuk mendapatkan suatu layanan.
Menurut
Sinalungga (2008:238), Teori antrian (Queueing Theory) merupakan studi
probabilistik kejadian garis tunggu (waiting lines), yakni suatu garis tunggu
dari customer yang memerlukan layanan dari sistem yang ada. Antrian terjadi
karena adanya keterbatasan sumber pelayanan, yang umumnya berkaitan dengan
terbatasnya server karena alasan ekonomi. Jika jumlah server yang disediakan
terbatas, memungkinkan terjadi antrian yang terlalu lama, sehingga orang dapat
memutuskan untuk meninggalkan antrian tersebut. Hal ini merupakan suatu
kerugian bagi pihak perusahaan, karena kehilangan customer. Agar tidak
kehilangan customer, maka pihak perusahaan harus menyediakan server yang
mencukupi, tetapi dilain pihak perusahaan harus mengeluarkan biaya yang lebih
besar.
Menurut
Wospakrik (1996:302), sistem antrian adalah himpunancustomer, server beserta
aturan yang mengatur antara kedatangan customer dan pelayanannya. Salah satu
komponen dari sistem antrian adalah pola kedatangan customer. Tipe kedatangan
ada dua macam, yaitu customer tiba dalam sistem antrian secara individu pada
satu waktu dan sekelompok customer yang datang bersamaan pada satu waktu. Dalam
masalah antrian biasa diasumsikan bahwa customer tiba di suatu fasilitas
layanan secara individu. Namun asumsi tersebut terbantahkan dalam beberapa
situasi di dunia nyata, misalnya surat yang tiba di kantor pos, orang-orang
pergi ke rumah makan atau ke bioskop adalah beberapa contoh keadaan dimana
customer tidak datang sendiri – sendiri, tetapi secara berkelompok dalam satu
waktu. Tentu saja kondisi ini berbeda dengan antrian yang kedatangannya secara
individu, misalnya waktu tunggu customer, dan kesibukan sistem tidak akan
sama.Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai antrian dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival). Penelusuran rumus dimulai dengan menganalisis
sistem antrian dengan satu server. Menurut Dharma (2001:39), sistem ini banyak
ditemui dalam sistem komunikasi. Tujuan pembahasan ini untuk memperoleh
beberapa karakteristik yang dapat mengukur kinerja/keefektifan sistem antrian.
Pada model antrian batch arrival dengan satu server, diharapkan server mampu
mengakomodasi jumlah antrian unit yang lebih dari satu, yang masuk ke dalam
sistem antrian dalam waktu bersamaan. Sehingga diharapkan unit tidak menunggu
terlalu lama. Dengan demikian akan dibangun konstruksi model antrian yang
sesuai dengan kondisi tersebut.
1.KARAKTERISTIK
SISTIM ANTRIAN
Ada tiga
komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani
(calling population)
2. Antrian
3. Fasilitas pelayanan
Masing-masing
komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri.
Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah :
Karakteristik
Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan.
1. Kedatangan
Populasi yang akan Dilayani (calling population)
Karakteristik
dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut
ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani.
Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga
tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk
registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite),
sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun
membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte).
Pola kedatangan
bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita
jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi.
Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian
selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik.
Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai
misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat
digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu
kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan.
Contoh :
Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi
secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam
periode waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,.
Jika kedatangan
diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama
lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Simeon
Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti
kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching system,
kedatangan kendaraan di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan
dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3,
4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu toll bisa 3, 5, 8, dst.
Ciri distribusi
poisson:
1. rata-rata jumlah kedatangan setiap
interval bisa diestimasi dari data sebelumnya
2. bila interval waktu diperkecil misalnya
dari 10 menit menjadi 5 menit, maka pernyataan ini benar
a. probabilita bahwa seorang pasien datang
merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk setiap interval
b. probabilita bahwa 2 atau lebih pasien
akan datang dalam waktu interval sangat kecil sehingga probabilita untuk 2 atau
lebih dikatakan nol (0).
c. Jumlah pasien yang yang datang pada interval
waktu bersifat independent
d. Jumlah pasien yang datang pada satu
interval tidak tergantung pada interval yang lain.
λ = rata-rata
kedatangn persatuan waktu
Suatu faktor
yang mempengaruhi penilaian distribusi kedatangan adalah ukuran populasi
panggilan .
T = periode waktu
n = jumlah kedatangan dalam waktu T
P (n,T) = probabilitas n kedatangan dalam
waktu T
P(T≤ t) = probabilitas di mana waktu antar kedatangan
T ≤ suatu waktu tertentu
λ = rata - rata kedatangan persatuan
waktu
t = suatu waktu tertentu
Contoh : jika
seorang tukang reparasi sedang memperbaiki enam buah mesin, populasi panggilan
dibatasi sampai dengan enam buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin bahwa
kedatangan mengikuti distribusi Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan tidak
konstan. Jika lima buah mesin telah rusak, tingkat kedatangan lebih rendah
daripada bila seluruh mesin dalam keadaan operasi.
Perilaku
kedatangan.
Populasi yang
akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada
tiga jenis perilaku: reneging, balking, dan jockeying. Reneging menggambarkan
situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan,
kemudian meninggalkan antrian tersebut. Balking menggambarkan orang yang tidak
masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying
menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.
2. Antrian
Batasan panjang
antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai
contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak
terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang
terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang
tertentu (definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian
bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan
telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan
ke bandara yang lain.
3. Fasilitas
Pelayanan
Karakteristik
fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out)
secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.
Tata letak
Tata letak fisik
dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut sebagai
jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server)
berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan
serta satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal
tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian
tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam
setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.
Sistem antrian
jalur berganda satu tahap (multi channel single server) adalah terdapat satu
jenis layanan dalam sistem antrian tersebut , namun terdapat lebih dari satu
pemberi layanan. Sedangkan sistem antrian jalur berganda dengan tahapan
berganda (multi channel, multi server) adalah sistem antrian dimana terdapat
lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan
dalam setiap jenis layanan.
Disiplin antrian
Disiplin antrian
dikelompokkan menjadi dua, yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin
preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang,
kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai
melayani orang sebelumnya. Sementara disiplin non preemptive menggambarkan
situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih
melayani orang yang diprioritaskan. Sedangkan disiplin first come first serve
menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebih
dahulu. Dalam kenyataannya sering dijumpai kombinasi dari tersebut. Yaitu
prioritas dan first come first serve. Sebagai contoh, para pembeli yang akan
melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian kurang dari sepuluh jenis barang
(dengan keranjang) di super market disediakan counter tersendiri. Karakteristik
waktu pelayanan. Waktu yang dibutuhkan untukdikategorikan sebagai konstan dan
acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani sama
untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika waktu yang
dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan. Jika waktu
pelayanan acak, diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial. disiplin antrian
. MULTICHANNEL, MULTISERVER asi yaitu prioritas dan first come first serve.
Disiplin prioritas kedua jenis disiplin antrian k melayani bisa Fasilitas
pelayanan
2. PERILAKU
BIAYA
Ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya
karena orang Dalam sistem antrian ada
mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang
terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena
menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan
fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari
sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri
dan biaya karena menambah fasilitas layanan.
B. TUJUAN
Dengan mengacu
pada latar belakang masalah dan rumusan masalah, maka tujuan dari penulisan ini
adalah:
1.
Menjelaskan
tingkah laku dari model sistem antrian satu server dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival).
2.
Menjelaskan
ukuran keefektifan dari model antrian satu server dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival).
3.
Menjelaskan
implementasi model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok
(batch arrival).
C. MANFAAT
Penulisan tugas
akhir ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:
1.
Bagi
pembaca memberikan gambaran mengenai model antrian satu server dengan pola
kedatangan berkelompok (batch arrival).
2.
Bagi
perpustakaan jurusan pendidikan matematika memberikan tambahan referensi
tentang kajian teori antrian.
3.
Bagi
instansi dapat dijadikan pertimbangan sebagai dasar pengambilan keputusan dalam
pengoptimalan server.
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini
akan diuraikan tentang dasar – dasar yang diperlukan dalam pembahasan model
antrian dengan pola kedatangan berkelompok.Pembahasannya mencakup tentang model
antrian dengan pola kedatangan secara individu yang berdistribusi Poisson dan
waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
A. Proses
Antrian
1.
Definisi
Proses Antrian
Menurut Bronson
(1996: 310), proses antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan
customer pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu panggilan dalam baris antrian
jika belum mendapatpelayanan dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan
setelah mendapat pelayanan. Proses ini dimulai saat customer – customer yang
memerlukan pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang
disebut sebagai sumber input. Menurut Hillier dan Lieberman (1980: 401), proses
antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan customer ke
suatu sistem antrian, kemudian menunggu dalam antrian hingga pelayan memilih
customer sesuai dengan disiplin pelayanan, dan akhirnya customer meninggalkan
sistem antrian setelah selesai pelayanan. Sistem antrian adalah himpunan
customer, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para customer dan
pelayanannya. Sistem antrian merupakan “ proses kelahiran – kematian “ dengan
suatu populasi yang terdiri atas para customer yang sedang menunggu pelayanan
atau yang sedang dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki
fasilitas pelayanan, sedangkan kematian terjadi jika customer meninggalkan
fasilitas pelayanan. Keadaan sistem adalah jumlah customer dalam suatu
fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996 :302)
1. KOMPONEN
DASAR DALAM PROSES ANTRIAN
Menurut Taha
(1997:609), suatu sistem antrian bergantung pada tujuh komponen yaitu pola
kedatangan, pola kepergian, kapasitas sistem, desain pelayanan, disiplin
pelayanan, ukuran sumber pemanggilan, dan perilaku manusia. Komponen – komponen
tersebut diuraikan sebagai berikut.
a.
Pola
Kedatangan
Menurut
Wagner (1972:840), pola kedatangan adalah pola pembentukan antrian akibat
kedatangan customer dalam selang waktu tertentu. Pola kedatangan dapat
diketahui secara pasti atau berupa suatu variabel acak yang distribusi
peluangnya dianggap telahdiketahui. Jika tidak disebutkan secara khusus
customer datang secara individu ke dalam sistem antrian. Namun dapat pula lebih
dari satu customer datang secara bersamaan ke dalam sistem antrian, pada
kondisi ini disebut dengan bulk arrival (Taha, 1997:177).
b.
Pola
Kepergian
Pola
kepergian adalah banyak kepergian customer selama periode waktu tertentu. Pola
kepergian biasanya dicirikan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan
oleh seorang pelayan untuk melayani seorang customer. Waktu pelayanan dapat
bersifat deterministik dan dapat berupa suatu variabel acak dengan distribusi peluang
tertentu (Bronson, 1996 : 310). Waktu pelayanan bersifat deterministik berarti
bahwa waktu yang dibutuhkan untuk melayani setiap customer selalu tetap,
sedangkan waktu pelayanan yang berupa variabel acak adalah waktu yang
dibutuhkan untuk melayani setiap customer berbeda – beda.
c.
Kapasitas
Sistem
Menurut
Bronson (1996:310), kapasitas sistem adalah banyak maksimum customer, baik
customer yang sedang berada dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang
ditampung oleh fasilitas pelayanan pada waktu yang sama. Suatu sistem antrian
yang tidak membatasi banyak customer dalam fasilitas pelayanannya disebut
sistem berkapasitas tak berhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi banyak
customer dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas berhingga,
jika customer memasuki sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka customer
akan ditolak dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.
2. Single
Channel - Multi Phase
Multi phase
berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakn secara berurutan dalam
phase-phase. Misalnya pada antrian di laundry, pakaian – pakaian setelah dicuci
kemudian dijemur lalu disetrika dan terakhir dikemas.
3. Multi Chanel
- Single Phase
Sistem multi
chanel-single phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri
oleh suatu antrian tunggal. Sebagai contoh adalah Sarana pelayanan nasabah di
Bank.
4. Multi Chanel
- Multi Phase
Sistem ini
terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dengan pelayanannya lebih
dari satu phase. Sebagai contoh adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit
dari pendaftaran, diagnosa, tindakan medis sampai pembayaran. Setiap
sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap,
sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
d.
Disiplin
Pelayanan
Menurut
Sinalungga (2008: 251), disiplin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan
dalam memilih customer dari barisan antrian untuk segera dilayani. Adapun
pembagian disiplin pelayanan ialah:
1. First come
first served (FCFS) atau first in first out (FIFO),
suatu peraturan
dimana yang akan dilayani ialah customer yang datang terlebih dahulu. Contohnya
antrian di suatu kasir sebuah swalayan.
2. Last come
first served (LCFS) atau last in first out (LIFO)
merupakan
antrian dimana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal atau
paling dahulu. Contohnya antrian pada satu tumpukan barang digudang, barang
yang terakhir masuk akan berada ditumpukkan paling atas, sehingga akan diambil
pertama.
3. Service in
random order (SIRO) atau pelayanan dalam urutan
acak atau sering
dikenal juga random selection for services (RSS), artinya pelayanan atau
panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak mempermasalahkan siapa
yang lebih dahulu tiba. Contohnya kertas – kertas undian yang menunggu untuk
ditentukan pemenangnya, yang diambil secara acak.
4. Priority
service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan
kepada mereka
yang mempunyai prioritas paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki
prioritas paling rendah, meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu tiba
dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal,
misalnya seseorang yang keadaan penyakit yang lebih berat dibanding dengan
orang lain dalam sebuah rumah
sakit.
e.
Sumber
Pemanggilan
Menurut Taha
(1996:177), ukuran sumber pemanggilan adalah banyaknya populasi yang
membutuhkan pelayanan dalam suatu sistem antrian. Ukuran sumber pemanggilan
dapat terbatas maupun tak terbatas. Sumber pemanggilan terbatas misalnya
mahasiswa yang akan melakukan registrasi ulang di suatu universitas, dimana
jumlahnya sudah pasti. Sedangkan sumber pemanggilan yang tak terbatas misalnya
nasabah bank yang antri untuk menabung atau membuka rekening baru, jumlahnya
bisa tak terbatas.
f.
Perilaku
Manusia
Perilaku manusia
merupakan perilaku – perilaku yang mempengaruhi suatu sistem antrian ketika
manusia mempunyai peran dalam sistem baik sebagai customer maupun pelayan. Jika
manusia berperan sebagai pelayan, dapat melayani customer dengan cepat atau
lambat sesuai kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu (Taha,
1996:178).Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam sistem
antrian jika berperan sebagai customer sebagai berikut. 1. Reneging
mengGambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum
memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut.
Balking
menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan
tempat antrian. Jockeying mengGambarkan situasi jika dalam sistem ada dua atau
lebih jalur antrian maka orang dapat berpindah antrian dari jalur yang satu ke
jalur yang lain.
A. Notasi
Kendall
Notasi baku
untuk memodelkan suatu sistem antrian pertama kali dikemukakan oleh D.G.Kendall
dikenal sebagainotasi kendall. Namun, A.M. Lee menambahkan simbol menjadi yang
disebut notasi kendall-Lee (Taha, 1996:627).
B. Proses
Kelahiran dan Kematian (Birth – Death Processes)
Proses
kedatangan dan kepergian dalam suatu sistem antrian merupakan proses kelahiran
dan kematian (birth – death processes). Kelahiran terjadi jika seorang customer
memasuki sistem antrian dan kematian terjadi jika seorang customer meninggalkan
sistem antrian tersebut.
B. Distribusi
Eksponensial dan Distribusi Poisson
1. Distribusi
Eksponensial
Distribusi
Eksponensial digunakan untuk mengGambarkan distribusi waktu pada fasilitas
jasa, dimana waktu pelayanan tersebut diasumsikan bersifat bebas. Artinya,
waktu untuk melayani pendatang tidak bergantung pada lama waktu yang telah
dihabiskan untuk melayani pendatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada
jumlah pendatang yang menunggu untuk dilayani.( Djauhari, 1997:175-176 ).
2. Distribusi
Poisson
Suatu eksperimen
yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah
yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat
berupa menit, hari,minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik
dapat berarti garis, luas, sisi, maupun material. ( Dimyati, 1999:309 ) Menurut
Dimyati, (1999:309) ciri-ciri eksperimen Poisson adalah :
a. Banyaknya
hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah
tertentu bersifat independen terhadap banyaknya hasil percobaan yang terjadi
pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
b. Peluang
terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali
atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu
tesebut atau besarnya daerah tersebut.
I. Ukuran
Keefektifan Sistem Antrian
Menurut Taha
(1997, 189:190), ukuran keefektifan suatu sistem antrian dapat ditentukan
setelah probabilitas steady state diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan suatu
sistem tersebut antara lain:
1) Nilai harapan banyaknya customer dalam
sistem antrian
2) Nilai harapan banyaknya customer dalam
antrian
3) Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem
antrian
4) Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian
Sebelum membahas
lebih lanjut, akan diuraikan lima definisi yang mendukung pembahasan ukuran
keefektifan suatu sistem.Jumlah customer dalam sistem adalah jumlah customer
dalam antrian ditambah jumlah customer yang sedang mendapat layanan.Laju
kedatangan efektif merupakan laju kedatangan rata – rata dalam waktu yang
panjang. Laju kedatangan efektif dinotasikan .
Model Antrian
(M/M/k)
Sebagai dasar
dalam pembahasan model antrian (M/M/k)akan dibahas terlebih dahulu model
antrian (M/M/k)
1. Solusi
Steady-State untuk Model (M/M/k)
Sistem antrian
(M/M/k)merupakan model antrian satu sever dengan kedatangan berdistribusi
Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Model ini merupakan
model tanpa batas.
kapasitas baik
dari kapasitas sistem maupun kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanannya
bersifat FCFS, yaitu customer yang datang pertama dilayani terlebih dahulu
begitu seterusnya. Notasi sistem antrian ini berdasarkan dengan notasi
Kendall-Lee.Jika kedatangan customer mengikuti distribusi Poisson dengan laju ,
maka dari asumsi (i) probability sebuah kedatangan terjadi , dan berdasarkan
asumsi (v).
BAB III
PEMBAHASAN
Dalam makalah
ini akan dibahas tentang keefektifan sistem antrian multiserver dengan pola
kedatangan berkelompok (batch arrival).
A. Pola
Kedatangan Berkelompok ( Batch Arrival )
Sebagai contoh
situasi pada sistem antrian dimana customer dating secara berkelompok yaitu
kedatangan customer secara berkelompok disebuah restoran, dan surat – surat
yang tiba di kantor pos. Ilustrasi sistem antrian dengan pola kedatangan
berkelompok ( batch arrival ) terlihat dalam
Pada sistem
antrian ini customer datang secara berkelompok dengan ukuran kelompok tersebut
adalah _, dimana secara umum _ adalah variable acak positif. Pada pembahasan
ini, customer datang berdasarkan distribusi Poisson dengan laju kedatangan ,
dan terdapat sebuah server yang memiliki waktu pelayanan berdistribusi
Eksponensial dengan laju pelayanan , dimana customer dilayani secara individu
dengan disiplin antrian FIFO ( First In First Out ). Desain pelayanan pada
sistem antrian ini adalah Single Channel Single Phase. Notasi untuk model
antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival )
tersebut.
A.Proses
Kedatangan dan Kepergian pada Sistem Antrian M/M/k
Pada sistem
antrian dengan pola kedatangan berkelompok ( batch arrival ), ukuran suatu
kelompok yang masuk kedalam suatu sistem antrian merupakan variabel acak
positif _, dengan fungsi peluang kedatangan suatu kelompok berukuran adalah Karena proses kedatangan pada sistem
antrian dengan pola kedatangan berkelompok mengikuti distribusi Poisson dengan
banyaknya kedatangan tiap satuan waktu. Dan setiap kedatangan tersebut
berukuran __, maka banyaknya kedatangan tiap satuan waktu pada sistem antrian
M/M/k ini adalah Laju transisi untuk sistem antrian M/M/k dapat dilihat dalam
B. Solusi Steady
state Model Antrian m/m/k
Kondisi steady
state yaitu keadaan sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal maupun waktu
yang telah dilalui. Jika suatu sistem antrian telah mencapai kondisi steady
state maka peluang terdapat * customer dalam sistem pada waktu t, yang
dinotasikan dengan m/m/k tidak tergantung pada waktu.
BAB IV
KESIMPULAN
A. Kesimpulan
Model antrian
satu server dengan pola kedatangan berkelompok ( batch arrival ) dinotasikan
dengan m/m/k dengan X adalah variabel acak yang menyatakan ukuran kelompok yang
masuk ke dalam sistem antrian. Model tersebut menggambarkan sistem antrian
dengan pola kedatangan customer secara berkelompok yang berdistribusi Poisson,
dan pelayanan customer secara individu dengan waktu pelayanan berdistribusi
Eksponensial. Dasar untuk menganalisis model antrian dengan pola kedatangan
berkelompok adalah dengan menentukan probability generating function ( PGF )
dari banyak customer dalam sistem.
DAFTAR PUSTAKA
1. Bain, L, & Engelhardt. (1992). Introduction
to Probability and Mathematical Statistics. California: Wadsworth Publishing
Company.
2. Barte, R. G, & Sherbert, D. R.
(2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons.
3. Bhat, N. U. (1984). Element of Applied
Stochastic Processes. 2nd. ed. New York: John Wiley & Sons.
4. Bronson, R. (1996). Teori dan Soal-Soal
Operations Research. (Terjemahan Hans Wospakrik). Jakarta: Erlangga.
5. Bunday, B. D. (1996). An Introduction to
Queuing Theory. New York: John Wiley & Sons.
6. Chaudhury, M. L.(1983). A First Course in
Bulk Queue. New York: John Wiley & Sons.
